资源理论:数学与工业的交汇处

照片:张凤胜通过Unsplash

在我介绍范畴论时,我提到了它的一个应用是资源论。范畴论非常年轻和抽象,有着广泛的应用领域,可以改善我们对这些领域的理解。资源论更年轻,仅在2014年和2015年发表的两篇最近的论文中被正式化(链接在文末)。让我们具体看看资源论,并看看它如何应用于现代问题。

许多领域都依赖于将一种物质转化为另一种物质,包括化学、能源行业、计算理论、通信和热力学。最终的结果是由资源制成的产品。我们可以问一些有关这种转换的问题。哪些转换是可能的?这些转换发生得有多快?会产生什么废物?资源论旨在确定这些转换的确切机制,并可以回答这些非常重要的问题。

请注意,资源论很快变得非常复杂。对于一个看似简单的概念,涉及到很多令人费解的符号。在本文中,我只概述基本定义。但对于那些想更深入了解的读者,我在文末提供了一些推荐阅读,内容更加详细。

理论

让我们从列出所有这些转换的常见组件开始。它们都涉及将一组资源转换为一组产品。每种资源都有一些可以制造的产品,另一些则无法制造。这些转换应该是可组合的,也就是说,如果我们可以将A转换为B,将B转换为C,那么我们应该可以通过多个步骤将A转换为C。所有这些思想都可以通过一个对称的单调范畴来建模。这是一个复杂的表达式,让我们看看它是什么,以及举个例子。

我们定义对称单调范畴为(S,>,I,*)。这是很多结构,我将逐一介绍。

S只是我们感兴趣的所有对象的集合。如果我们将此结构应用于化学问题,它可能是我们可以访问的所有化学物质,以及我们希望创建的化学物质。这就像标准数学集合一样。

>定义了在S上的顺序。我可以简单列出订单的属性,但我认为以示例形式更直观。

图1:示例顺序(作者的图像)

我们如何根据>解释这个图?通过查看图1,我们可以看到从A到B有一个箭头,因此A>B。我们还可以组合箭头,因此A>C和A>D。我没有在图1中包括它们,但每个点也有一个箭头指向它自己,因此A>A,B>B等。如果我画了从B到A的箭头,也可以将A>B和B>A。

这是什么意思呢?很简单,如果A > B,那么我们可以通过一个过程将A变成B。注意,CD除了它们自己之外不能被转化成任何东西,它们被困在它们当前的状态中。由于A > A,我们可以通过一个微不足道的过程将A变成A。由于箭头可以组合,我们知道A > BB > C意味着A > C。这在我们考虑组合时是有意义的。总之,包含在>中的对象告诉我们S中的对象可以被转化成另一个S中的对象。

现在让我们转向I和*。这些部分告诉我们有关将元素转换为另一个元素的实际过程。*是一个二元操作,作为A * B = C。这个操作表示实际将AB转换为CI只是“中性资源”,其中A * I = I * A = A对于所有元素。同样,这个操作需要一些属性,但有一个属性是更重要的,它连接了*和>

这个属性被称为单调性,定义为A1 > B1A2 > B2,意味着A1 * A2 > B1 * B2。我们可以将这个属性视为“如果我们可以将A1转化为B1并将A2转化为B2,那么我们可以将A1A2的组合转化为B1B2的组合”。以这种方式思考对于资源理论是直观的,但需要在数学上形式化。

应用

现在我们有了一种形式化我们思考的数学结构。我们可以添加很多附加功能以获得对现实世界情景的掌握。例如,如果我们想考虑每个组合所需的时间怎么办?我们可以有一个时间函数T,它需要两个元素,其中TAB)给出执行A * B组合所需的时间。然后,我们可以寻求最小化我们执行的所有组合的T值之和。

资源理论变得越来越重要,为机器学习提供了一个框架。在机器学习中,通常有一个我们正在尝试最大化的价值。公司可能希望以最有效的方式将资源A转换为资源B。在上面,我定义了一个函数T,它可以计算转换两个对象之间所需的时间。我们可以为很多变量定义类似的函数,如成本和空间。使用像神经网络这样的机器学习技术,我们可以找到最佳的转换排列,使其成为最有效的设置。资源理论提供了一致的结构,可以输入这些学习算法。

资源理论与信息理论之间也有显著的关系,这可以通过Claude Shannon的工作看出。我不会在这里详细介绍,但您可以在下面的链接中找到更多信息。

希望您能窥见资源理论的力量!在本文中,我只涵盖了绝对基础知识。有很多更多的路径可以采取我们在这里铺设的路径,将这种结构应用于更多领域。以下是一些链接,可帮助您开始了解更多。

  • 资源的数学理论 —— 这是其中一篇创始性文章,从基础开始建立了资源理论。它还介绍了一种非常有用的可视化方法,可以帮助很大程度上的理解!
  • 资源可转换性和有序交换幺半群 —— 另一篇创始性文章。这篇文章更加详细和冗长。我发现第一篇文章更容易理解,但这篇文章确实包含了很多有用的信息。

如果这两篇文章都太正式了,我建议您阅读这组讲座。它使用了我在范畴论文章中推荐的优秀书籍 Seven Sketches。如果您对了解资源理论与机器学习的关系感兴趣,那么请查看这篇非常易懂的论文以获取更多相关信息。

感谢阅读!如果您对本文有任何想法或问题,请留言。

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