计算机辅助证明应用于流体流动

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Credit: Photoneye

研究人员长期以来一直在数值求解控制重要流体现象的偏微分方程,例如天气、聚变等离子体和空气动力学。当然,结果的准确性始终受限于计算机对方程的有限精度和空间分辨率。

计算机也成为一种精确、严谨数学的强大工具。例如,证明助手能够确保逻辑论证正确,并且考虑到了所有情况。程序可以不知疲倦地检查超人类规模的组合库,例如1976年四色地图定理的证明所依据的组合库。

然而,令人惊讶的是,研究人员使用数值计算来严格证明与流体方程解有关的有争议的陈述。特别是,研究人员最近证明了由Leonhard Euler开发的描述流体流动的方程在有限时间内会出现解“发散”,这意味着某些量在有限时间内变为无穷大。

这些“奇点”只被证明会在高度对称边界内的精心选择的初始条件下发生。尽管如此,知道它们的存在可能会改变研究人员对不太理想情况的思考方式。普林斯顿大学数学教授Charles Fefferman表示:“如果你没有精确地达到奇点,但接近奇点,也许这意味着系统的行为是不可预测的。”

此外,最近的研究结果可能被扩展以阐明流体摩擦或粘滞性的影响。流体摩擦在Euler方程中被忽略,但在更现实和重要的Navier-Stokes方程中被包括进去。在存在粘滞力(无边界)的情况下,证明奇点的存在或不可能性将赢得与解决七个著名复杂数学问题相关的百万美元奖金之一,这些问题被克雷数学研究所归类为“千禧年难题”。

虽然Euler方程的结果尚未达到这个挑战,但它们可能提供重要线索来解决这个问题。它们还可能激发数学家使用传统的分析方法来证明这些奇点,有些人认为这更加令人满意。

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寻找奇点

流体流动模式是由局部行为产生的,其中每个流体包囊对压力梯度等力的反应。方程中的一个关键项描述了流体的内部旋转(涡度)随着流体的运动而传播。由于这个“涡旋拉伸”项包含速度和旋转,它本质上是非线性的,极大地复杂化了结果行为。尽管方程很容易写出(Euler在1757年这样做),但找到它们的解并非易事。

目标是预测流体从任意特定初始条件(在起始时间点上指定空间中每个点的速度)将如何演化。流体流动的复杂性很快超出了研究人员对其进行分析描述的能力,但计算机模拟长期以来一直是实验的重要补充。

然而,一个重要的未解问题是,是否总是存在一个唯一的“全局规则”解,以任意初始条件表现良好。几年前,杜克大学的数学家Tarek Elgindi在一个简化模型中发现了一个奇点。Fetterman说:“他找到了Euler方程的奇异解,但它没有那么平滑。”

实际上,20多年前,一些研究人员发现了看似发散的数值解。然而,通过更精确的计算,其他人,包括加州理工学院的Thomas Hou,证明了看似奇点的解实际上在不发展无穷大的情况下停止发散。

然而,十年前,Hou和他的同事罗国(现任香港恒生大学)在一个精心选择的几何形状中展示了Euler方程的奇点的更具说服力的数值迹象。他们研究了一个由完全圆柱形容器限定的流体,容器内交替流动顺时针和逆时针的流体,在边界处相交的地方形成了一个圆线。

目标是预测流体从任意特定初始条件(在起始时间点上指定空间中每个点的速度)将如何演化。

在这条线周围,相反的流动引发了一个迅速增长的次级旋转流动。重要的是,容器的圆柱对称性和流动的镜像对称性确保了增强涡度的非线性集中在奇点处。涡度似乎在有限时间内变为无穷大,尽管流体速度保持有限。

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计算机证明

侯和他的学生贾杰陈(现就读于纽约大学Courant研究所)的最新工作被认为是证明这种情况下真正的奇点存在的证据。有趣的是,这个证明是从数值概况开始的,尽管侯指出“计算机永远无法获得无限分辨率。”

然而,正如费费尔曼解释的那样,尽管大多数数字在计算机中无法精确表示,但计算可以保证其值的上下界可以任意紧密。更复杂的技术还可以确保计算机对函数的表示足够接近,在某种选择的意义上。“你不仅可以处理数字,还可以处理计算机上的函数,并且可以做出具有精确逻辑意义并且保证可证明正确的操作。”

证明要求奇点在发生微小偏差的情况下仍然存在。“拥有一台计算机为你提供一个候选概况非常重要,”侯说,“基于这个概况,你可以进行分析,”系统地检查与候选概况非常“接近”的函数。

否则,“爆炸可能会有一些不稳定的模式,意味着你可以接近但可能无法达到奇点本身。它可能找到一种逃脱的方法,”他说。“有一些不稳定的方向,微小的扰动会使其远离奇点。”研究人员反复利用计算机确认所有逃脱路径在偏差足够小的情况下都被封堵。

重要的是,研究人员在问题的重新缩放版本中进行了稳定性分析。他们假设空间变化几乎相同,只是长度尺度随着剩余时间到达奇点的幂次变化。“我们将有限时间模拟缩放到了无限时间的重新缩放时间域中,我们在空间上进行了缩放,所以我们有了一个平滑的概况,”侯说,尽管坐标本身是奇异的。“等效问题要容易得多,因为概况变得平滑了。”

尽管如此,虽然许多人预期在欧拉方程中存在奇点,“要找到这样一个候选者非常困难,”侯说。“如果你随机选择一些平滑的初始数据,几乎可以肯定它不会爆炸。你必须找到一个非常特殊的条件来产生这种自相似、可持续、稳定的爆炸。”

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越过边界

“你可以将这些自相似坐标看作是将奇点去奇异化,”来自马里兰大学的特里斯坦·巴克马斯特说,他的团队也在推进对平滑解的搜索。“你希望通过证明一些非可怕的事情来证明一些可怕的事情发生了。”

重新缩放取决于确定变换的精确指数。巴克马斯特和他的同事们一直在使用“物理信息神经网络”来找到允许平滑解的离散值。

然而,与迭代地向独立的传统求解器建议参数的神经网络不同,在这种情况下,“神经网络本身只是函数的非线性表示,”巴克马斯特说。此外,“我们对解的外观了解很多,所以我们可以将其直接构建到神经网络中”,包括对称性、守恒定律和渐近行为。“这非常有帮助。”

巴克马斯特希望他的方法能帮助找到无边界问题的奇点。“传统的数值方法在找到这些解方面并不是非常有用。”

侯和陈的解决方案“是一个了不起的成果。他们解决了这个问题,”巴克马斯特说。尽管如此,他说,“游戏的关键是没有边界,”因为流动在那里总会有一个不连续点,也就是奇点的形成处。巴克马斯特希望他的方法能帮助找到无边界问题的奇点。“传统的数值方法在找到这些解方面并不是非常有用。”

“我认为一个团队或两个团队都有很大机会……在没有障碍物的情况下找到欧拉方程的奇点,”费费尔曼说。“我个人认为这至少与克莱(纳维-斯托克斯)问题一样有趣。”

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包括黏度

然而,对于纳维-斯托克斯解的影响却极不明确。在解决了无黏度的欧拉情况之后,人们可能“希望如果摩擦系数实际上非常非常小但不为零,解应该近似相同,”费费尔曼说,并且还有一个已经证明的定理表明应该如此。“这非常有道理,但事实证明在现实世界中绝对错误,或者看起来是如此。”

“在流体流动中,微小摩擦的不合理有效性是存在的,”费费尔曼指出。奇点可能有助于解决这个看似矛盾的问题,他说,因为在奇点之后,欧拉方程可能实际上没有解 – 尽管还有其他可能的解决办法。

巴克马斯特说,当存在粘度时,奇点对边界的依赖性更强。它们是否持续存在或逃逸取决于具有粘度的自标度指数的精确值,他希望他的神经网络能够特别擅长找到这些值。

粘度在湍流这一重要现象中也起着关键作用,湍流导致能量以越来越小的尺度形成旋涡,直到粘度最终将其转化为热量。虽然这个过程具有几何自相似性,但它倾向于将涡度分散到整个流体中,而不是集中起来,侯说。”事实上,湍流倾向于破坏奇点。”然而,他最近描述了导致纳维尔-斯托克斯方程中有些不同的奇点的情景。

“如果这些奇点存在,”费费尔曼说,”可能存在一系列不同的奇点,并且当前令人兴奋的工作只是发现最容易描述的那些奇点而已。”

进一步阅读

Chen, J. and Hou, T.Y. 带平滑数据的2D Boussinesq方程和3D Euler方程的稳定几乎自相似炸裂,https://arxiv.org/abs/2210.07191 (2022).

Cepelewicz, J. 计算机证明“炸裂”了几个世纪前的流体方程,Quanta, Nov. 16, 2022, https://bit.ly/3ZAiXvU

Cepelewicz, J. 深度学习有望“炸裂”着名的流体方程,Quanta, April 12, 2022, https://bit.ly/3YBmJns

纳维尔-斯托克斯千禧问题,查尔斯·费费尔曼提供的官方问题描述,Claymath.org,http://bit.ly/3l63PXV。

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作者

唐·门罗是居住在美国佛蒙特州米德尔伯里的科学和技术作家。

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