逆转时光：扩散模型与随机微分方程
时光倒流：扩散模型与随机微分方程
一开始，混沌存在…
扩散模型使我们能够逆转时间。是的，时间。但是我在过于超前了…在之前的两篇文章中，我们讨论了两种不同的扩散过程公式：去噪概率扩散模型（DDPMs）和Langevin动力学评分（SMLDs）。在本文中，我们将合并这两种公式，发现如何用随机微分方程（SDEs）来描述扩散过程及其逆转。
让我们开始时光之旅吧！
数学背景
在我们深入研究扩散模型之前，让我们花一分钟来了解随机微分方程的主要概念。
确定性微分方程
您可能已经知道，微分方程是将一个或多个函数与它们的导数相关联的方程。在物理学和数学中，我们使用微分方程来模拟各种系统的动态行为。
通常，微分方程具有以下形式：
我们还可以用无穷小微分形式表示这个方程：
直观地说，这个方程表明函数x = x(t)的值的一个非常小的（无穷小的）变化等于一个与时间变化的很小比例f = f(t, x(t))。
值得注意的是，上述公式描述了一个确定性微分方程。这意味着在相同的初始条件下，我们获得系统的唯一解，即没有随机性。
随机微分方程
任何学过概率课程的人都知道，大多数时候，现实世界太复杂了，我们无法使用确定性微分方程准确描述它。在这些情况下，我们使用概率论的概念，例如随机过程，试图对现实世界现象建模。
这样一个复杂系统的典型案例是布朗运动，即粒子的运动…
