不确定性原理如何限制时间序列分析?

不确定性原理对时间序列分析有何限制?

为什么我们无法从时间序列中同时提取精确的时间和频率信息,以及小波分析如何解决这个限制

Photo by Jamie Street on Unsplash

1. 简介

傅里叶变换、不确定性原理和时间序列分析之间的联系展示了一种令人着迷的相互作用,塑造了同时提取时间和频率信息的方式。为了理解这种关系,首先要简要了解什么是傅里叶变换(FT)和不确定性原理。然后,我们将探讨小波变换(WT)作为克服这一限制的有希望的工具,能够揭示具有足够清晰度的特定频率时间事件。

1.1 傅里叶变换

傅里叶变换(FT)作为函数在时间域和频率域之间的数学桥梁。傅里叶变换可以描述为:

我不会详细解释这个积分,但重要的部分是傅里叶变换将函数f(x)转换为频率空间中的另一个函数g(ω)。记住这个信息,它将非常重要。(为了更好地理解傅里叶变换,我强烈推荐观看3Blue1Brow的视频。)

1.2 不确定性原理作为傅里叶变换的结果

1927年,物理学家维尔纳·海森伯提出了量子力学中可能是最著名的概念之一,即不确定性原理[1]。 该原理基本上是一个关于傅里叶变换的定理,当两个函数是彼此的傅里叶变换时,不确定性原理就会发挥作用。

虽然我们暂时回避其复杂的物理学问题,但只考虑其本质: 位置x和动量p的不确定性的乘积保持有界。这种限制突显了用无限精度测量这些量的固有边界(如果您感兴趣,请查看这个视频)。

Uncertainty Principle in the context of Physics.

这是因为位置和动量是彼此的傅里叶变换!在时间序列分析中,类似于位置x和动量p的是时间序列在时间t和频率ω空间中的对应。

Uncertainty Principle in the context of signal processing.

2. 使用傅里叶变换在时间序列中召唤频率

傅里叶变换的一个非常重要的应用是时间序列分析。考虑一个需要找到时间序列中固有频率的场景。例如,想象一下辨别人们重复观看给定内容的主要频率。因此,我们希望使用傅里叶变换将f(t)(一个时间序列)转换为g(ω)(一个关于频率的函数)。

2.1 例子

为了举例说明,让我们使用夏威夷洛阿火山每周大气CO2数据集[2]。

Mauna Loa Weekly Atmospheric CO2 time series. Image by the author.

去除线性趋势以消除虚假的低频成分:

去趋势的时间序列。图片由作者提供。

使用快速傅里叶变换算法(FFT)计算傅里叶变换:

时间序列的傅里叶变换。图片由作者提供。

因此,可以获取构成系列的频率,在这种情况下可以看到两个明显的峰值,一个是年度峰值,另一个是半年度峰值。这是数据集明显的季节性的可视化。

然而,最有趣的部分发生在时间序列中出现干扰的时候,这可能是事件或外部变量(例如附近火山喷发)的影响。为了模拟这种情况,我们可以在相同的序列上加上一个随机正弦波的附加项:

Mauna Loa每周大气二氧化碳去趋势时间序列加上干扰。图片由作者提供。

应用FFT来获取序列的傅里叶变换:

受干扰的时间序列的傅里叶变换。图片由作者提供。

现在,在0.5到0.75之间出现了另一组峰值,这是由干扰引起的。

2.2 限制

有时,我们想知道干扰和频率变化发生的时间,或者仅仅是每个频率在序列中的时间位置。在我们模拟有和无干扰的序列时,很明显大部分影响发生在序列的开始。然而,通过对序列的视觉检查和FT信息的了解是不足以确定干扰发生的位置的。因此,我们需要找到另一个工具来帮助我们。

然而,傅里叶变换(FT)存在一个权衡:正如不确定性原理所示,它剥夺了时间信息,使我们无法得知这些频率在序列中的出现时间。这就是不确定性原理的作用。我们可以利用不确定性原理,而不是追求频率或时间的无限准确性,从而以降低的分辨率获得对这两个量的洞察力,同时保持平衡。

3. 小波变换作为时间和频率权衡的工具

小波变换(WT)作为一种分辨率平衡的方法出现,它将我们的函数 f(t) 转化为 F(t,ω),即时间和频率的组合。我不会详细介绍WT的工作原理,但总结起来,该转换过程使用一系列不同的小波(具有已知频率和形状的信号)通过两个函数的点乘来匹配时间序列的时序同步。因此,可以了解频率和时间发生的情况,但在这两个量中的分辨率较低。

莫尔波小波信号的示例(它是一个复杂信号,因此有虚部和实部)。作者提供的图片。

为了可视化信号的小波变换,通常将x轴表示为时间尺度,y轴表示为频率尺度,颜色尺度表示频率的功率。

对于没有扰动的去趋势时间序列,

夏威夷罗亚环境CO2周时间序列的小波变换。作者提供的图像。

可以清楚地看到,按照视觉检查的预期,季节性在多年间重复出现。但是,从FT得到的1年季节性的巨大峰值现在更宽了,因此对于值的确定性降低了。

最有趣的分析是针对模拟场景的。

扰动时间序列的小波变换。作者提供的图像。

小波变换显示,FT中观察到的低频扰动发生在系列的早期年份,20-25年后产生明显的影响。即使在时间和频率上失去了分辨率,频率出现的新信息仍然具有价值,可以回答各种问题。

4. 结论

简而言之,不确定性原理对时间序列分析施加了基本限制,正如傅立叶变换的约束所揭示的那样。傅立叶变换可以高效地从时间序列数据中提取频率信息,但是它牺牲了关于这些频率何时发生的任何知识。因此,小波变换是一种有用的工具,它使我们可以在时间和频率分辨率之间进行权衡,以获取对频率分量的时间出现的洞察,并接受与原理相关的不确定性。

致谢

这个令人惊叹的视频来自Artem Kirsanov,激发了我写这篇文章的灵感。如果您想深入了解这个主题,我还建议您观看这个视频。

备注

  • 傅立叶变换(FT)不仅对量子力学和时间序列分析非常重要。它也正在此刻被用于将本文的数据存储在云服务中。历史上最著名和使用最广泛的算法之一被称为快速傅立叶变换(FFT),它在现今的数据压缩中起着基本作用。
  • 为了在数学上模拟亚原子粒子的性质,傅立叶变换在量子力学中自然地出现。反映了不确定性原理对我们对自然的理解所带来的根本性转变。测量粒子的位置会使您失去有关该粒子速度的信息,反之亦然。

本文的笔记本可在此处获取

参考资料

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Uncertainty_principle

[2] https://www.statsmodels.org/dev/datasets/generated/co2.html(公共领域)

[3] 小波变换(维基百科)