CDF与PDF：有什么区别？
CDF与PDF：区别？
累积分布函数和概率密度函数是概率论中两个基本的概念，经常让学生感到困惑。理解随机变量的行为、特征和分布在很大程度上取决于这些操作。了解概率密度函数（PDF）与累积分布函数（CDF）的区别对于分析和解释与连续和离散随机变量相关的概率至关重要。
本文将讨论概率密度函数（PDF）与累积分布函数（CDF）的定义及其独特的作用和相互关系。为了阐明它们在各种统计应用中的应用和重要性，我们还将提供一个解决的例子来展示它们的用法。
什么是概率密度函数（PDF）？
概率密度函数是理解与连续随机变量相关的概率的重要工具。它提供了表示可能值上的概率分布的平滑曲线。概率密度函数并不给出特定个体值的概率，但它描述了随机变量在特定点附近的一个小区间内取值的可能性。
为了理解概率密度函数的概念，可以想象一个连续的概率分布，比如成年男性的身高。概率密度函数将显示不同身高范围的概率。例如，它可能暗示身高在5’9″和5’10″之间的人比那个范围之外的人更多。
曲线下跨越一个范围的概率表示随机变量落在该范围内的概率。只有计算该点处概率密度函数的积分，才能计算出单个值的概率，即随机变量无限接近该值的概率。
什么是累积分布函数（CDF）？
累积分布函数是概率密度函数的补充概念，它提供了与随机变量相关的概率的累积视角。与概率密度函数的平滑曲线不同，累积分布函数是一个在特定值处跳跃的阶梯函数。它显示了一个特定数字小于或等于随机变量的可能性。
累积分布函数在负值处从0开始，随着随机变量的值的增加而稳步上升，最终趋于1。对于离散随机变量，累积分布函数按照每个可能结果的概率逐步增加。对于连续随机变量，它平滑地增加，反映了不同区间的累积概率。
使用前面的男性身高例子，累积分布函数可以展示出小于或等于某个值（例如5’9″）的男性的概率。通过累积概率，累积分布函数可以回答类似于“百分之多少的成年男性身高低于5’9″”这样的问题。
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概率密度函数与累积分布函数的理解与例子
理解概率密度函数与累积分布函数的相互作用对于理解随机变量的行为以及它们的分布如何工作至关重要。两个函数都提供了关于随机变量值的概率的补充见解。
我们之前展示了如何使用公正的六面骰子例子计算概率密度函数与累积分布函数。现在让我们探索它们的关联以及它们关系的更深层次的方面。
从概率密度函数计算累积分布函数
我们需要对给定范围内的概率密度函数进行积分，以从概率密度函数计算累积分布函数。连续随机变量在某一点x（F(x)）的累积分布函数等于该点处概率密度函数曲线的区域。可以用以下数学模型来描述：
F(x)=[a, x]f(t)dt这里，x是我们希望获得累积概率的分布曲线上的点，an是范围的下限。
对于我们掷公正骰子的例子，我们可以使用先前计算的概率密度函数值来找到累积分布函数：
让我们计算x = 3处的累积分布函数：
F(3) = ∫[1, 3] f(t) dt
F(3) = ∫[1, 3] 16 dt
F(3) = [t6] |[1, 3]
F(3) = (36) - (16)
F(3) = 26同样，我们可以使用相同的方法计算其他x值处的累积分布函数。
离散随机变量的概率密度函数与累积分布函数的关系
离散随机变量的PMF（概率质量函数）和CDF（累积分布函数）之间的关系更为明显。PMF提供了离散随机变量每个特定值的概率，而CDF累积了这些概率。
在特定值x处的CDF是随机变量小于或等于x的所有概率的总和。数学上，对于离散随机变量：
F(x) = P(X ≤ x) = Σ[所有值 ≤ x] P(X = value)通过累加所有小于或等于x的值的概率，我们得到了该点的累积概率，这个过程与CDF的概念相吻合。
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理解CDF与PDF之间的差异
让我们了解PDF和CDF的独特属性和应用：
定义
| CDF | |
| 概率密度函数（PDF）描述连续随机变量的概率分布。它显示了随机变量具有特定值的概率。 | 一般而言，随机变量小于或等于特定值的概率由累积分布函数（CDF）确定。 |
表示
| CDF | |
| 连续随机变量通常用表达式f(x)来表示，其中’x’表示变量的值。 | 它适用于连续和离散随机变量，通常表示为F(x)，其中’x’表示变量的值。 |
函数类型
| CDF | |
| PDF用于连续随机变量，其中概率分布在一个无限范围的值上。 | CDF适用于离散和连续随机变量，因为它累积了随机变量的所有可能值的概率。 |
解释
| CDF | |
| PDF在连续分布曲线上的特定点提供概率密度，表示概率如何在不同值之间分布。 | CDF提供了累积概率，即随机变量小于或等于特定值的概率。 |
积分
| CDF | |
| 对PDF在某个范围内进行积分可以得到随机变量落在该范围内的概率。 | 通过将PDF从下界积分到特定值’x’，可以得到CDF，累积了直到该点的概率。 |
范围
| CDF | |
| 对于分布曲线上的任何给定点，PDF可以取任何非负值，表示变量取该值的可能性。 | CDF始终在0到1之间，因为它给出了累积概率，并且是非递减的，意味着随着’x’的增加，它只能增加或保持不变。 |
应用
| CDF | |
| PDF常用于概率密度估计、统计建模以及理解连续分布的形状。 | CDF可用于确定分布的百分位数和分位数，以及随机变量落入某个特定范围的可能性。 |
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结论
总之，在概率和统计中理解CDF和PDF之间的区别是必不可少的。两者在分析随机变量及其分布时起着重要作用。如果您想深入研究数据科学并提升统计技能，请考虑参加Analytics Vidhya Blackbelt Program。这个综合性项目将使您具备在数据科学领域脱颖而出的知识和专业技能。不要错过这个机会，通过Analytics Vidhya的Blackbelt Program开启您的数据科学之旅！
