数据科学中的频率派统计与贝叶斯统计
频率派统计与贝叶斯统计在数据科学中的应用
介绍
统计分析在快速发展的数据科学领域中起着至关重要的作用，使研究人员能够从数据中获得深刻的知识。然而，贝叶斯派和频率派方法之间的分歧一直存在。这两种策略体现了不同的思维方式和程序，各自具有独特的优势和缺点。本文比较了频率派与贝叶斯统计学，阐明了它们的核心思想、主要测试方法以及在选择它们之间时需要考虑的关键变量。
频率派与贝叶斯派：概述
| 方面 | 频率派方法 | 贝叶斯派方法 |
|---|---|---|
| 概率解释 | 客观的：概率表示重复实验的长期频率或极限行为。 | 主观的：概率表示基于先验知识和数据的信念程度或不确定性。 |
| 参数处理 | 固定的：参数是固定的、未知的常数。估计涉及根据数据找到“最佳”估计。 | 随机的：参数被视为具有自己的概率分布的随机变量。它们根据先验信念和数据进行更新，得到后验分布。 |
| 先验信息 | N/A：通常不会明确地将先验信息纳入分析中。 | 至关重要：贝叶斯分析涉及指定代表在观察数据之前对参数的先验信念的先验分布。 |
| 推断方法 | 假设检验：涉及 p 值和拒绝域。 | 可信区间：涉及用指定概率估计参数值的可信区间。 |
| 处理不确定性 | 点估计：点估计（例如样本均值）和相关的不确定性（例如置信区间）。 | 概率分布：直接建模参数估计的不确定性的后验分布。 |
| 样本量要求 | 大样本：通常需要大样本量来准确估计参数。 | 较小样本：贝叶斯方法即使在较小样本量下也可以提供合理的估计，尤其是在具有信息先验的情况下。 |
| 计算复杂度 | 较简单：通常涉及参数估计的直接公式（例如最大似然）。 | 较复杂：需要数值方法（如 MCMC）进行后验估计，尤其是对于复杂模型。 |
| 假设检验 | p 值和假设检验容易被误解和争议。 | 贝叶斯假设检验使用贝叶斯因子或后验概率进行直接比较。 |
| 模型选择 | 依赖于诸如 AIC 或 BIC 的准则。 | 使用后验模型概率（贝叶斯因子）或边际似然进行模型比较。 |
| 结果解释 | 关注数据和观察到的效应。 | 结果在先验信念的背景下解释，并根据数据进行更新。 |
让我们更好地研究它们的基本原则，以了解频率派和贝叶斯派统计学之间的差异。
什么是频率派统计学？
频率派统计学，也称为经典统计学，着重于仅基于观察到的数据对总体参数进行推断。这种方法假设概率反映了在重复实验中事件发生的长期频率。在频率派统计学中，数据就像是从一个潜在总体中的随机样本，目标是估计未知参数或对其进行假设检验。
频率主义观点
频率主义统计方法集中于只考虑观察频率和抽样方法的数据分析。根据这一观点，概率指的是随着时间的推移在重复研究中事件发生的频率。
频率主义者使用p值来确定针对零假设的证据强度，而不是为假设本身分配概率。他们强调可观测数据的重要性，并将先验假设或主观知识排除在分析之外。
频率主义者使用哪些主要测试方法？
频率主义统计利用一系列测试来从观察数据中得出结论和推断。这些测试分析数据的不同方面，并评估变量之间的关系。以下是一些主要的测试方法：
T检验
定义：T检验确定两个组的均值是否在统计上显著不同。
应用：这个测试在实验研究或A/B测试场景中被广泛使用，用于判断治疗或干预与对照组相比是否有显著影响。
卡方检验
定义：卡方检验评估列联表中分类变量之间的独立性。
应用：它广泛用于检查两个分类变量之间的关系，分析调查结果，或确定某个特定特征是否对结果有显著影响。
方差分析（ANOVA）
定义：方差分析用于比较不同组之间的均值差异。
应用：这个测试在比较三个或更多组的均值时特别有用，比如在有多个治疗组的实验设计中，或者在研究分类变量对连续结果的影响时。
回归分析
定义：回归分析评估变量之间的关系，特别是因变量与一个或多个自变量之间的关系。
应用：这个测试通常在线性或逻辑回归框架中使用，以分析独立因素对连续结果的影响，预测未来值，并找到相关的预测因子。
使用频率主义统计的优点和缺点
频率主义统计的优点
- 简单性：频率主义方法通常更易于理解和应用，使其适用于许多用户。
- 成熟的理论基础：频率主义统计具有坚实的理论基础、明确定义的性质和广泛的文献。
- 重视观察数据：频率主义统计关注数据，不需要先前的知识或信念。
频率主义统计的缺点
- 灵活性不足：频率主义方法在处理小样本量或需要先前信息的复杂问题时可能受限。
- 依赖p值：使用p值进行假设检验被批评为强调统计显著性而不是实际显著性。
- 无法量化不确定性：频率主义统计通常提供点估计和置信区间，但不提供参数落在某个范围内的可能性。
贝叶斯统计是什么？
贝叶斯统计采用了不同的方法，将先验信念与观察数据结合起来，获得后验分布。在这个框架中，概率表示主观信念程度，而不是长期频率。贝叶斯统计提供了一个形式化的机制来更新先前知识并一致地量化不确定性。
贝叶斯定理是什么？
贝叶斯定理以牧师托马斯·贝叶斯命名，是贝叶斯统计的核心。它为在面对新数据时修正先前观点提供了一个数学框架。这就是著名的贝叶斯定理：
P(H|D) =(P(D|H) P(H))P(D)其中：
- P(H|D) 是给定数据D的假设H的后验概率
- P(D|H) 是给定假设H的情况下观察到数据D的概率
- P(H) 是假设H的先验概率
- P(D) 是观察到数据D的概率
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贝叶斯主要使用哪些测试？
贝叶斯统计学家在贝叶斯统计框架内使用各种测试和方法来分析数据。这些方法提供了一种多功能和一致的统计推断方法。以下是最常见的贝叶斯测试：
贝叶斯假设检验
贝叶斯使用贝叶斯因子来比较不同假设的证据强度。贝叶斯因子量化了不同假设下观察数据的相对可能性，可以评估哪个假设得到了数据的更多支持。
马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法
- MCMC方法在贝叶斯统计中起着至关重要的作用，因为它们允许从复杂的后验分布中进行采样。
- 这些技术生成了一系列从后验分布中采样的样本，从而实现了对感兴趣参数的推断和估计。
贝叶斯回归
- 贝叶斯回归提供了一种灵活的框架来建模变量之间的关系。它允许将先验信息、不确定性量化和回归系数的后验分布估计纳入进来。
- 与传统的频率主义回归方法相比，这种方法提供了对变量之间关系的更全面的理解。
层次模型
- 贝叶斯通常使用层次模型来考虑不同数据集层次的变异性。层次模型捕捉了从群体水平借用强度到个体水平估计参数的概念。
- 在处理复杂数据结构（如嵌套或聚类数据）时，这些模型特别有用。
贝叶斯决策理论
- 贝叶斯决策理论将统计推断与决策制定相结合。它将不同行动的成本和利益纳入考虑，并使用后验概率来确定在不确定性下的最佳决策。
- 这种方法在医学诊断等领域非常有用，因为必须根据不明确的数据做出判断。
查看：使用Python进行贝叶斯回归分析的贝叶斯方法
使用贝叶斯统计的优缺点
贝叶斯统计的优点
- 整合先验知识：贝叶斯统计允许整合先前的信念和专家知识，这在处理有限数据时非常有用。
- 一致的不确定性量化：贝叶斯方法提供后验分布，可以直接估计参数在特定范围内的概率。
- 灵活性：贝叶斯统计可以处理复杂问题和小样本量，适应各种建模假设。
贝叶斯统计的缺点
- 计算复杂度：当处理庞大的数据集或复杂的模型时，贝叶斯方法可能需要更多的计算资源。
- 先验规范的主观性：选择先验可能会影响结果，主观的先验规范可能引入偏见。
- 学习曲线较陡：与频率主义统计相比，贝叶斯统计通常需要对概率论和计算方法有更深入的理解。
频率主义与贝叶斯：应该选择哪一个？
在决定使用频率主义还是贝叶斯统计时，没有一种大小适合所有的解决方案。选择是在考虑多个变量的基础上进行的，包括问题的性质、现有信息、任何过去的知识以及对结果的期望解释。让我们来看看选择适当策略时需要考虑的因素：
- 可用资源：贝叶斯方法通常需要比频率主义方法更多的计算资源和专门的软件。
- 先验知识和信念：如果有先前信息可用或者专家知识至关重要，可能更倾向于使用贝叶斯统计。
- 不确定性的解释：贝叶斯统计直接使用后验分布量化不确定性，而频率主义统计则依赖于置信区间。
- 科学界的规范：不同领域对频率主义或贝叶斯统计有不同的偏好和惯例。
频率学派 vs 贝叶斯学派：你可以同时使用吗？
频率学派和贝叶斯学派都可以应用于现实世界的数据科学工作流程中。这两种方法的优势可以通过混合技术来获得好处，例如使用贝叶斯分层模型进行频率学派假设检验。
然而，需要仔细考虑如何解释和融合不同方法的结果。
频率学派 vs 贝叶斯学派：示例
示例：计算抛硬币得到正面的概率
- 频率学派方法：根据观察到的数据计算抛硬币得到正面的概率。如果我们抛硬币100次，得到60次正面，那么频率学派的概率将为60100=0.6
- 贝叶斯学派方法：根据先前的信念，并使用观察到的数据进行更新来计算抛硬币得到正面的概率。假设先验概率为0.5（表示公平的硬币），在观察到100次抛硬币中有60次正面后，贝叶斯学派将根据他们选择的先验分布和观察到的数据来计算后验概率。
似然概率将如下计算：
P(B|A) = (100 choose 60) (0.5)60 (0.5)100-60其中，(100 choose 60) 是二项式系数，(0.5)60 (0.5)100-60 表示获得60次正面的概率。
将先验概率（0.5）和这个似然概率代入贝叶斯定理，我们可以计算抛硬币得到正面的后验概率。
结论
频率学派和贝叶斯学派在数据科学中提供了不同的统计分析方法。频率学派方法关注观察到的数据和长期频率，提供直观的估计和假设检验技术。另一方面，贝叶斯方法考虑先前的假设，并使用后验分布量化不确定性。任务、数据和对结果的期望解释都会影响选择这两种方法之间的选项。虽然每种方法都有优缺点，但选择最适合分析特定要求的策略至关重要。
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