使用物理信息神经网络和符号回归发现微分方程

使用物理信息神经网络和符号回归发现微分方程' can be condensed as '应用物理信息神经网络和符号回归发现微分方程'.

一项具有逐步代码实现的案例研究

Photo by Steven Coffey on Unsplash

微分方程作为一个强大的框架,用于捕捉和理解物理系统的动态行为。通过描述变量之间的变化关系,它们提供了对系统动力学的见解,并使我们能够预测系统的未来行为。

然而,在许多现实世界的系统中,我们面临的一个常见挑战是它们的控制微分方程通常只有部分已知,未知的方面以几种方式显现:

  • 微分方程的参数是未知的。一个典型的例子是风工程,其中流体力学的控制方程已经很成熟,但与湍流流动相关的系数则具有高度的不确定性。
  • 微分方程的函数形式是未知的。例如,在化学工程中,由于速率决定步骤和反应路径的不确定性,速率方程的确切函数形式可能不完全理解。
  • 既有函数形式也有参数是未知的。一个典型的例子是电池状态建模,常用的等效电路模型只能部分捕捉电流-电压关系(因此缺失物理的函数形式是未知的)。此外,模型本身还包含未知参数(即电阻和电容值)。
Figure 1. The governing equations of many real-world dynamical systems are only partially known. (Image by this blog author)

这种对控制微分方程的部分了解阻碍了我们对这些动力系统的理解和控制。因此,根据观察到的数据推断这些未知组成部分成为动力系统建模中的关键任务。

广义而言,利用观测数据恢复动力系统的控制方程的过程属于系统辨识的领域。一旦发现,我们可以方便地使用这些方程来预测系统的未来状态,为系统提供控制策略,或者…