函数的导数 —— 它是什么?
函数导数是什么?
什么是函数f(x)在点x处的切线?它是只在点x处与函数相切的直线。它不会在其他点x2(与x不同的点)与函数相交。
函数f(x)在点x处的导数是什么?它是切线在该点的斜率。
考虑以下函数:
该函数的图形如下:
对于任意x < 0,函数在x处的切线如下所示:
这条切线的斜率为负数。因此,f(x)在x < 0处的导数为负数。
对于任意x > 0,函数在x处的切线如下所示:
这条切线的斜率为正数。因此,f(x)在x > 0处的导数为正数。
在x = 0处,函数的切线与x轴重合,如下所示:
这条切线的斜率为0。因此,f(x)在x = 0处的导数为零。
请注意,在x = 0处,切线不会像下面这样,因为该直线与函数相交于两个点:
函数f(x)的导数在数学上定义为以下极限:
其中h是一个无限小的数。
当h从负方向(对于负值的h)趋近于0时,该极限的值如下所示:
当h从正方向(对于正值的h)趋近于0时,该极限的值如下所示:
导数表示为:
这两个极限必须相等。那个极限值就是导数。
这里在x = a处的df(x)是:
这里的dx是:
请注意,上述例子是一个在所有x处都是连续且平滑的函数。函数的导数仅在连续且平滑的点存在,并且在垂直切线不会出现的点(在垂直切线出现的点,切线的斜率为无穷大)上存在。导数也称为微分。
有些点的函数将没有导数。这些点的函数不可微分。我们将在以后的帖子中看到这样的点。
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